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Wie faktorisiert man Binome?

Um Binomiale zu faktorisieren, beginnen Sie damit, die Terme des Binomials in aufsteigender Reihenfolge zu platzieren, damit sie leichter lesbar sind. Als nächstes ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor beider Terme und teilen dann den größten gemeinsamen Faktor von jedem Term. Abschließend multiplizieren Sie Ihren Faktor mit dem resultierenden Ausdruck! Wenn Sie Ihre Arbeit überprüfen möchten, multiplizieren Sie alles wieder mit der ursprünglichen Gleichung. Lesen Sie weiter, um zu lernen, wie man Binome faktorisiert, um Gleichungen und kniffligere Probleme zu lösen!

Als nächstes ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor beider Terme
Als nächstes ermitteln Sie den größten gemeinsamen Faktor beider Terme und teilen dann den größten gemeinsamen Faktor von jedem Term.

In der Algebra sind Binomiale Ausdrücke mit zwei Begriffen, die mit einem Plus- oder Minuszeichen verbunden sind, wie zum Beispiel ax+b{\displaystyle ax+b} . Der erste Term enthält immer eine Variable, während der zweite Term kann oder nicht. Ein Binomialfaktor zu faktorisieren bedeutet, einfachere Terme zu finden, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, diesen Binomialausdruck ergeben, der Ihnen hilft, ihn zu lösen oder für die weitere Arbeit zu vereinfachen.

Teil 1 von 3: Binomialzahlen faktorisieren

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    Machen Sie sich mit den Grundlagen des Factoring vertraut. Factoring ist, wenn Sie brechen eine große Zahl nach unten in seinen einfachsten teilbare Teile. Jeder dieser Teile wird als "Faktor" bezeichnet. So kann zum Beispiel die Zahl 6 gleichmäßig durch vier verschiedene Zahlen geteilt werden: 1, 2, 3 und 6. Somit sind die Faktoren von 6 1, 2, 3 und 6.
    • Die Faktoren von 32 sind 1, 2, 4, 8, 16 und 32
    • Sowohl "1" als auch die Zahl, die Sie faktorisieren, sind immer Faktoren. Die Faktoren einer kleinen Zahl wie 3 wären also einfach 1 und 3.
    • Faktoren sind nur die perfekt teilbaren Zahlen oder "ganzen" Zahlen. Sie könnten 32 durch 3.564 oder 21.4952 dividieren, aber dies führt nicht zu einem Faktor, sondern nur zu einer weiteren Dezimalstelle.
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    Platzieren Sie die Begriffe des Binomials, um sie leichter lesbar zu machen. Ein Binomial ist einfach die Addition oder Subtraktion zweier Zahlen, von denen mindestens eine eine Variable enthält. Manchmal haben diese Variablen Exponenten, wie x2{\displaystyle x^{2}} oder 5y4{\displaystyle 5y^{4}} . Beim ersten Faktorisieren von Binomialen kann es hilfreich sein, Gleichungen mit aufsteigenden Variablentermen neu anzuordnen, d. h. der größte Exponent ist der letzte. Beispielsweise:
    • 3t+6{\displaystyle 3t+6} 6+3t{\displaystyle 6+3t}
    • 3x4+9x2{\displaystyle 3x^{4}+9x^{2}} 9x2+3x4{\displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}
    • x2−2{\displaystyle x^{2}-2} −2+x2{\displaystyle -2+x^{2}}
      • Beachten Sie, wie das Minuszeichen vor der 2 bleibt. Wenn ein Term subtrahiert wird, halten Sie einfach das Minuszeichen davor.
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    Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor beider Begriffe. Dies bedeutet, dass Sie die höchstmögliche Zahl finden, durch die beide Teile des Binomials teilbar sind. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, faktorisieren Sie einfach beide Zahlen einzeln und sehen Sie dann, was die höchste übereinstimmende Zahl ist. Beispielsweise:
    • Übungsaufgabe: 3t+6{\displaystyle 3t+6} .
      • Faktoren von 3: 1, 3
      • Faktoren von 6: 1, 2, 3, 6.
      • Der größte gemeinsame Faktor ist 3.
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    Dividieren Sie den größten gemeinsamen Faktor aus jedem Begriff. Sobald Sie Ihren gemeinsamen Faktor kennen, müssen Sie ihn aus jedem Begriff entfernen. Beachten Sie jedoch, dass Sie die Begriffe einfach zerlegen und jeden Begriff in ein kleines Divisionsproblem verwandeln. Wenn Sie es richtig gemacht haben, teilen beide Gleichungen Ihren Faktor:
    • Übungsaufgabe: 3t+6{\displaystyle 3t+6} .
    • Größten gemeinsamen Faktor finden: 3
    • Faktor aus beiden Termen entfernen: 3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}
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    Multiplizieren Sie Ihren Faktor mit dem resultierenden Ausdruck, um zu beenden. Im letzten Problem haben Sie eine 3 entfernt, um t+2{\displaystyle t+2} zu erhalten . Aber Sie haben die drei nicht nur komplett abgeschafft, sondern einfach ausklammert, um die Dinge zu vereinfachen. Sie können Zahlen nicht einfach löschen, ohne sie zurückzusetzen! Multiplizieren Sie Ihren Faktor mit dem Ausdruck, um endlich fertig zu werden. Beispielsweise:
    • Übungsaufgabe: 3t+6{\displaystyle 3t+6}
    • Größten gemeinsamen Faktor finden: 3
    • Faktor aus beiden Termen entfernen: 3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}
    • Mehrfachfaktor durch neuen Ausdruck: 3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}
    • Endgültige faktorisierte Antwort: 3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}
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    Überprüfen Sie Ihre Arbeit, indem Sie alles wieder mit der ursprünglichen Gleichung multiplizieren. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, sollte es einfach sein, zu überprüfen, ob Sie es richtig gemacht haben. Multiplizieren Sie Ihren Faktor einfach mit den beiden Einzelteilen in den Klammern. Wenn es mit dem ursprünglichen, nicht faktorisierten Binomial übereinstimmt, haben Sie alles richtig gemacht. Lösen Sie von Anfang bis Ende den Ausdruck 12t+18{\displaystyle 12t+18}, um zu üben:
    • Begriffe neu organisieren: 18+12t{\displaystyle 18+12t}
    • Finden Sie den größten gemeinsamen Nenner: 6{\displaystyle 6}
    • Faktor aus beiden Termen entfernen: 18t6+12t6=3+2t{\displaystyle {\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t}
    • Mehrfachfaktor durch neuen Ausdruck: 6(3+2t){\displaystyle 6(3+2t)}
    • Antwort prüfen: (6∗3)+(6∗2t)=18+12t{\displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}
Wie man Binome faktorisiert
Lesen Sie weiter, um zu lernen, wie man Binome faktorisiert, um Gleichungen und kniffligere Probleme zu lösen!

Teil 2 von 3: Binomialzahlen faktorisieren, um Gleichungen zu lösen

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    Verwenden Sie die Faktorisierung, um Gleichungen zu vereinfachen und ihre Lösung zu erleichtern. Beim Lösen einer Gleichung mit Binomialen, insbesondere komplexen Binomialen, kann es so aussehen, als ob nicht alles zusammenpasst. Versuchen Sie beispielsweise 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y} zu lösen . Eine Möglichkeit, es zu lösen, insbesondere bei Exponenten, besteht darin, zuerst zu faktorisieren.
    • Übungsaufgabe : 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
    • Denken Sie daran, dass Binome nur zwei Terme haben dürfen. Wenn es mehr als zwei Terme gibt, können Sie stattdessen lernen, Polynome zu lösen.
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    Addiere und subtrahiere so, dass eine Seite der Gleichung gleich Null ist. Diese ganze Strategie beruht auf einer der grundlegendsten Tatsachen der Mathematik: Alles, was mit Null multipliziert wird, muss gleich Null sein. Wenn Ihre Gleichung also gleich Null ist, muss einer Ihrer faktorisierten Terme gleich Null sein! Addiere und subtrahiere zunächst, sodass eine Seite gleich Null ist.
    • Übungsaufgabe : 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
    • Auf Null setzen: 5y−2y2+3y=−3y+3y{\displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}
      • 8y−2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}
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    Faktorisieren Sie die Nicht-Null-Seite wie gewohnt. An diesem Punkt können Sie für einen Schritt so tun, als ob die andere Seite nicht existiert. Finden Sie einfach den größten gemeinsamen Faktor, teilen Sie ihn auf und erstellen Sie dann Ihren faktorisierten Ausdruck.
    • Übungsaufgabe : 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
    • Auf Null setzen: 8y−2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}
    • Faktor: 2y(4−y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}
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    Setzen Sie sowohl innerhalb als auch außerhalb der Klammer gleich Null. In der Übungsaufgabe multiplizieren Sie 2y mit 4 - y, und es muss gleich Null sein. Da alles, was mit Null multipliziert wird, gleich Null ist, bedeutet dies, dass entweder 2y oder 4 - y 0 sein muss. Erstellen Sie zwei separate Gleichungen, um herauszufinden, was y sein muss, damit jede Seite gleich Null ist.
    • Übungsaufgabe : 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
    • Auf Null setzen: 8y−2y2+3y=0{\displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}
    • Faktor: 2y(4−y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}
    • Setzen Sie beide Teile auf 0:
      • 2y=0{\displaystyle 2y=0}
      • 4−y=0{\displaystyle 4-y=0}
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    Lösen Sie beide Gleichungen nach Null, um Ihre endgültige Antwort oder Antworten zu erhalten. Vielleicht haben Sie eine oder mehrere Antworten. Denken Sie daran, dass nur eine Seite gleich Null sein muss, sodass Sie möglicherweise einige verschiedene Werte von y erhalten, die dieselbe Gleichung lösen. Zum Abschluss der Übungsaufgabe:
    • 2y=0{\displaystyle 2y=0}
      • 2y2=02{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}}
      • y = 0
    • 4−y=0{\displaystyle 4-y=0}
      • 4−y+y=0+y{\displaystyle 4-y+y=0+y}
      • y = 4
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    Stecken Sie Ihre Antworten wieder ein, um sicherzustellen, dass sie funktionieren. Wenn Sie die richtigen Werte für y erhalten haben, sollten Sie sie verwenden können, um die Gleichung zu lösen. Es ist einfach, jeden Wert von y anstelle der Variablen auszuprobieren, wie gezeigt. Da die Antwort y = 0 und y = 4 war:
    • 5(0)−2(0)2=−3(0){\displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}
      • 0+0=0{\displaystyle 0+0=0}
      • 0=0{\displaystyle 0=0} Diese Antwort ist richtig
    • 5(4)−2(4)2=−3(4){\displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}
      • 20−32=−12{\displaystyle 20-32=-12}
      • −12=−12{\displaystyle -12=-12} Auch diese Antwort ist richtig.
Die Terme des Binomials in aufsteigender Reihenfolge zu platzieren
Um Binomiale zu faktorisieren, beginnen Sie damit, die Terme des Binomials in aufsteigender Reihenfolge zu platzieren, damit sie leichter lesbar sind.

Teil 3 von 3: Umgang mit kniffligeren Problemen

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    Denken Sie daran, dass Variablen auch mit Exponenten als Faktoren gelten. Denken Sie daran, Factoring ist das Herausfinden, welche Zahlen in das Ganze geteilt werden können. Der Ausdruck x4{\displaystyle x^{4}} ist eine andere Art, x∗x∗x∗x{\displaystyle x*x*x*x} auszudrücken . Dies bedeutet, dass Sie jedes x ausklammern können, wenn der andere Term auch eins hat. Behandeln Sie Variablen nicht anders als eine normale Zahl. Beispielsweise:
    • 2t+t2{\displaystyle 2t+t^{2}} kann faktorisiert werden, da beide Terme ein t enthalten. Ihre endgültige Antwort wäre t(2+t){\displaystyle t(2+t)}
    • Sie können sogar mehrere Variablen gleichzeitig herausziehen. Zum Beispiel enthalten in x2+x4{\displaystyle x^{2}+x^{4}} beide Terme das gleiche x2{\displaystyle x^{2}} . Sie können zu x2(1+x2){\displaystyle x^{2}(1+x^{2})} faktorisieren.
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    Erkenne nicht vereinfachte Binome, indem du ähnliche Terme kombinierst. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x} . Dies mag so aussehen, als hätte es vier Begriffe, aber wenn Sie genau hinsehen, werden Sie feststellen, dass es in Wirklichkeit nur zwei gibt. Sie können ähnliche Begriffe hinzufügen, und da sowohl die 6 als auch die 14 keine Variable haben und die 2x und 3x dieselbe Variable teilen, können diese beide kombiniert werden. Factoring ist dann einfach:
    • Ursprüngliches Problem: 6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}
    • Begriffe neu organisieren: 2x+3x+14+6{\displaystyle 2x+3x+14+6}
    • Kombiniere ähnliche Begriffe: 5x+20{\displaystyle 5x+20}
    • Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor: 5(x)+5(4){\displaystyle 5(x)+5(4)}
    • Faktor: 5(x+4){\displaystyle 5(x+4)}
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    Erkenne die spezielle "Differenz perfekter Quadrate ". Ein perfektes Quadrat ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist, wie 9{\displaystyle 9} (3∗3){\displaystyle (3*3)} , x2{\displaystyle x^{2}} (x∗x){\displaystyle (x*x)} , oder sogar 144t2{\displaystyle 144t^{2}} (12t∗12t){\displaystyle (12t*12t)} Wenn Ihr Binomial ein Subtraktionsproblem mit zwei perfekten Quadraten wie a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}} ist , können Sie sie einfach in diese Formel einsetzen:
    • Differenz der perfekten Quadrate Formel: a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}
    • Übungsaufgabe : 4x2−9{\displaystyle 4x^{2}-9}
    • Quadratwurzeln finden:
      • 4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}
      • 9=3{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
    • Setze Quadrate in die Formel ein: 4x2−9=(2x+3)(2x−3){\displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}
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    Lernen Sie, die "Differenz der perfekten Würfel " aufzuschlüsseln. Genau wie die perfekten Quadrate ist dies eine einfache Formel für den Fall, dass zwei gewürfelte Terme voneinander subtrahiert werden. Zum Beispiel a3−b3{\displaystyle a^{3}-b^{3}} . Wie zuvor finden Sie einfach die Kubikwurzel von jedem und setzen sie in eine Formel ein:
    • Differenz der perfekten Würfelformel: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){\displaystyle a^{3}-b^{3}=(ab)(a^{2}+ab+b ^{2})}
    • Übungsaufgabe : 8x3−27{\displaystyle 8x^{3}-27}
    • Würfelwurzeln finden:
      • 8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
      • 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
    • Setze Würfel in die Formel ein: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}
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    Wisse, dass die Summe perfekter Würfel auch in eine Formel passt. Im Gegensatz zur Differenz perfekter Quadrate können Sie mit einer einfachen Formel auch leicht hinzugefügte Würfel wie a3+b3{\displaystyle a^{3}+b^{3}} finden. Es ist fast genau das gleiche wie oben, nur mit einigen Vor- und Nachteilen. Die Formel ist genauso einfach wie die anderen beiden, und Sie müssen nur die beiden Würfel in der Aufgabe erkennen, um sie zu verwenden:
    • Summe der perfekten Würfel Formel: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab +b^{2})}
    • Übungsaufgabe : 8x3−27{\displaystyle 8x^{3}-27}
    • Würfelwurzeln finden:
      • 8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
      • 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
    • Setze Würfel in die Formel ein: 8x3−27=(2x+3)(4x2−6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}
Insbesondere komplexen Binomialen
Beim Lösen einer Gleichung mit Binomialen, insbesondere komplexen Binomialen, kann es so aussehen, als ob nicht alles zusammenpasst.

Tipps

  • Nicht alle Binome haben gemeinsame Faktoren! Einige sind soweit wie möglich bereits vereinfacht.
  • Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt, teilen Sie ihn durch kleinere Teile. Wenn Sie beispielsweise nicht erkennen, dass 16 der gemeinsame Faktor zwischen 32 und 16 ist, teilen Sie zunächst beide Zahlen durch 2. Sie haben 16 und 8, die auch durch 8 geteilt werden können. Jetzt haben Sie 2 und 1, die kleinsten Faktoren. Offensichtlich gibt es etwas Größeres als 8 und 2, das ein gemeinsamer Faktor ist.
  • Beachten Sie, dass eine sechste Potenz (x 6) sowohl ein perfektes Quadrat ''und'' ein perfekter Würfel ist. Als solches Sie oben beide der speziellen Formeln anwenden können, in beliebiger Reihenfolge auf einen binomisches, dass der Unterschied der ist perfekt sechster Kräfte, wie x 6 - 64. Sie können jedoch finden es einfacher, den Unterschied der perfekten Quadrate Formel anzuwenden zuerst, damit Sie das Binomial vollständiger faktorisieren können.

Warnungen

Fragen und Antworten

  • 2x hoch 2 minus 8 faktorisiert ist 2(x-2)(x+2) in meinem Lehrbuch. Aber ich bin verwirrt, weil (x-2)(x+2) x hoch 2 minus 4. wird
    Dies liegt daran, dass Sie tatsächlich zweimal faktorisieren können. X zum Quadrat minus vier ist eine Differenz von perfekten Quadraten, was bedeutet, dass Sie sie zu (x-2)(x+2) faktorisieren können. Die 2 vorne ist aus dem ersten Factoring.
  • Was ist, wenn die Variable keinen Koeffizienten hat? Oder teilen sich die beiden Zahlen 1 als größten gemeinsamen Faktor?
    Einige Binome können einfach nicht faktorisiert werden.
  • Was ist, wenn ein Term denselben Koeffizienten, aber keinen Exponenten hat?
    Ziehe den Koeffizienten heraus.

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